Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，⊙M的半徑為．設⊙M與y軸交于D，拋物線的頂點為E．

（1）求m的值及拋物線的解析式；

（2）設∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，請指出點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝﹣1，y＝x2﹣2x﹣3；（2）sin（α﹣β）＝；（3）在坐標軸上存在三個點P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似．

【解析】

（1）過M作MN⊥y軸于N，連接CM，利用勾股定理可知m的值，同樣的方法可以求出點B的坐標，將點B的坐標代入拋物線解析式中即可求.

（2）通過計算可得出，進而證明Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，則sin（α﹣β）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC可求.

（3）經過分析可知，根據題意分Rt△COA∽Rt△BCE；過A作AP2⊥AC交y正半軸于P2，Rt△CAP2∽Rt△BCE；過C作CP3⊥AC交x正半軸于P3，Rt△P3CA∽Rt△BCE三種情況，分情況討論即可.

（1）由題意可知C（0，﹣3），1，

∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0），

過M作MN⊥y軸于N，連接CM，

則MN＝1，CM，

由勾股定理得CN＝2，ON=1，

∴m＝﹣1．

同理可求得B（3，0），

將點B代入拋物線的解析式中得

∴a×32﹣2a×3﹣3＝0，得a＝1．

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．

（2）由（1）得A（﹣1，0），E（1，﹣4），B（3，0），C（0，﹣3）．

∵M到AB，CD的距離相等，OB＝OC，

∴OA＝OD，

∴點D的坐標為（0，1），

∴在Rt△BCO中，BC3，

∴，

在△BCE中，

∵BC2+CE2＝

∴△BCE是Rt△

，

∴，

即，

∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，

因此sin（α﹣β）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC．

（3）∵OB＝OC，OD＝OA，

∴Rt△COA∽Rt△BCE，此時點P1（0，0）．

過A作AP2⊥AC交y正半軸于P2，

則Rt△CAP2∽Rt△BCE，

∴P2（0，）．

過C作CP3⊥AC交x正半軸于P3，

則Rt△P3CA∽Rt△BCE，

∴P3（9，0）．

故在坐標軸上存在三個點P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），

使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似．