Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上兩點，且點C為弧BF的中點，過點C作AF的垂線，交AF的延長線于點E，交AB的延長線于點D．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）如果半徑的長為3，tanD=，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）連接OC，如圖，由弧BC=弧CF得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC．則∠OCA=∠FAC，所以OC∥AE，從而得到OC⊥DE，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）先在Rt△OCD中利用正切定義計算出CD=4，再利用勾股定理計算出OD=5，則sinD=，然后在Rt△ADE中利用正弦的定義可求出AE的長．

試題解析：解：（1）連接OC，如圖．∵點C為弧BF的中點，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切線；

（2）在Rt△OCD中，∵tanD=，OC=3，∴CD=4，∴OD==5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sinD=，∴AE=．