Question

（2013年四川眉山8分）如圖，某防洪指揮部發現長江邊一處長500米，高10米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫斷面為梯形ABCD）急需加固．經調查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．

（1）求加固后壩底增加的寬度AF；

（2）求完成這項工程需要土石多少立方米？（結果保留根號）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）分別過點E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H。

 

∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，

∴DHEG。

∴四邊形EGHD是矩形。∴ED=GH。

在Rt△ADH中，

AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米），

在Rt△FGE中，，

∴FG=EG=10（米）。

∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）。

答：加固后壩底增加的寬度AF為（10﹣7）米。

（2）加寬部分的體積V=S_梯形AFED×壩長=×（3+10﹣7）×10×500=2500010000（立方米）。

答：完成這項工程需要土石（25000﹣10000）立方米。  

【解析】（1）分別過E、D作AB的垂線，設垂足為G、H．在Rt△EFG中，根據坡面的鉛直高度（即壩高）及坡比，即可求出水平寬FG的長；同理可在Rt△ADH中求出AH的長；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的長。

（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面積．梯形AFED的面積乘以壩長即為所需的土石的體積。　

考點：解直角三角形的應用（坡度坡角問題），銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值。