Question

已知：如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD⊥AB于M，交⊙O于E，連接CB交⊙O于F，求證：EF•DF=BF•CF．

Answer 1

分析：根據垂徑定理可以發現等弧，根據等弧所對的圓周角相等可以證明角相等．即∠BFD=∠BDC．再加上公共角，則可以發現△BDF∽△BCD；根據圓內接四邊形的外角等于它的內對角，可以得到∠EFC=∠BDC，再加上公共角，可以證明△BDC∽△EFC．從而借助中間比

BD

CD

，證明結論．

解答：證明：∵AB是⊙O的直徑，DC⊥AB，
∴弧BD=弧BE，∠BDC=∠BFD．
∵∠DBF=∠CBD，
∴△BDF∽△BCD．
∴

BF

DF

=

BD

DC

．
∵∠EFC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△BDC∽△EFC．
∴

BD

DC

=

EF

FC

∴

BF

DF

=

EF

FC

．
∴EF•DF=BF•CF．

點評：能夠充分運用垂徑定理和圓周角定理以及圓內接四邊形的性質發現圓中的角相等；掌握相似三角形的判定和性質．能夠借助中間比證明一個比例式．