Question

【題目】我們知道求函數圖象的交點坐標，可以聯立兩個函數解析式組成方程組，方程組的解就是交點的坐標．如：求直線y＝2x+3與y＝﹣x+6的交點坐標，我們可以聯立兩個解析式得到方程組，解得，所以直線y＝2x+3與y＝﹣x+6的交點坐標為（1，5）．請利用上述知識解決下列問題：

（1）已知直線y＝kx﹣2和拋物線y＝x2﹣2x+3，

①當k＝4時，求直線與拋物線的交點坐標；

②當k為何值時，直線與拋物線只有一個交點？

（2）已知點A（a，0）是x軸上的動點，B（0，4），以AB為邊在AB右側做正方形ABCD，當正方形ABCD的邊與反比例函數y＝的圖象有4個交點時，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①（1，2），（5，18）；②k＝﹣2；（2）a的取值范圍是a＞2或﹣16＜a＜﹣4

【解析】

（1）①由題意得：，解得，，即可求解；

②利用△＝0，即可求解；

（2）分a＞0、a＜0兩種情況，探討正方形的邊與反比例函數圖象交點的情況，進而求解．

解：（1）①由題意得：，解得，，

∴直線與拋物線的交點坐標是（1，2），（5，18）；

②聯立兩個函數并整理得：x2﹣（k+2）x+5＝0，

△＝（﹣k﹣2）2﹣4×5＝0，

解得：k＝﹣2；

（2）①當a＞0時，如圖1，

點A、B的坐標分別為：（a，0）、（0，4），

由點A、B的坐標得，直線AB的表達式為：y＝﹣x+4，

當線段AB與雙曲線有一個交點時，

聯立AB表達式與反比例函數表達式得：﹣x+4＝，

整理得：4x2﹣4ax+2a＝0，

△＝（﹣4a）2﹣16×2a＝0，解得：a＝2，

故當a＞2時，正方形ABCD與反比例函數的圖象有4個交點；

②當a＜0時，如圖2，

（Ⅰ）當邊AD與雙曲線有一個交點時，

過點D作ED⊥x軸于點E，

∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAO，

∵AB＝AD，∠AOB＝∠DEA＝90°，

∴△AOB≌△DEA（AAS），

∴ED＝AO＝﹣a，AE＝OB＝4，

故點D（a+4，a），

由點A、D的坐標可得，直線AD的表達式為：y＝a（x﹣a），

聯立AD與反比例函數表達式并整理得：ax2﹣a2x﹣16＝0，

△＝（﹣a2）2﹣4a×（16）＝0，解得：a＝﹣4（不合題意值已舍去）；

（Ⅱ）當邊BC與雙曲線有一個交點時，

同理可得：a＝﹣16，

所以當正方形ABCD的邊與反比例函數的圖象有4個交點時，a的取值范圍為：﹣16＜a＜﹣4；

綜上所述，a的取值范圍是a＞2或﹣16＜a＜﹣4．