Question

如圖，直線y=x+3與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx﹣3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，連接CB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸MN對(duì)稱(chēng)．


（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形．

Answer 1

(1) y=﹣x²﹣2x+3, （﹣1，4）； （2）證明如下.

解析試題分析：（1）先根據(jù)直線y=x+3求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)B、D關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)，C（-1，4），B（0，3）求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后得到AD與BC不平行，∴四邊形ABCD是梯形，再根據(jù)∠ABC=90°得到四邊形ABCD是直角梯形．
試題解析：（1）∵y=x+3與坐標(biāo)軸分別交與A、B兩點(diǎn)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)（﹣3，0）、B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）.
∵拋物線y=ax²+bx﹣3a經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴，解得.
∴拋物線解析式為：y=﹣x²﹣2x+3.
∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，4）.
（2）∵B、D關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)，C（﹣1，4），B（0，3），∴D（﹣2，3）.
∵B（3，0），A（﹣3，0），
∴OA=OB.
又∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°.
∵B、D關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)，
∴BD⊥MN.
又∵M(jìn)N⊥X軸，∴BD∥X軸.
∴∠DBA=∠BAO=45°.
∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°.
∴∠ABC=180°﹣∠DBO=90°.
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°.
∵CM⊥BD，∴∠MCB=45°.
∵B，D關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)，
∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB.
又∵AD與BC不平行，
∴四邊形ABCD是梯形.
∵∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是直角梯形
考點(diǎn)：(1)二次函數(shù)；（2）直角梯形.