Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D為⊙O上的點且∠ABC＝∠DBC，過C作CE⊥BD交BD的延長線于點E．

（1）求證：CE是⊙O的切線．

（2）若F是OB的中點，FG⊥OB交CE于點G，FG＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑＝4

【解析】

（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠OCB＝∠OBC，推出OC∥BE，得到OC⊥CE，根據切線的判定定理得到CE是⊙O的切線；

（2）延長EC，BA相交于R，根據余角的性質得到∠ACR＝∠ABC，根據相似三角形的性質得到，設AR＝3x，RC＝4x，設⊙O的半徑為2a，根據勾股定理和相似三角形的性質即可得到結論．

解：（1）連接OC，∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵∠ABC＝∠DBC，

∴OC∥BE，

∵CE⊥BD，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）延長EC，BA相交于R，

∵∠ACR+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACR＝∠ABC，

∴△ACR∽△CBR，

∴，

設AR＝3x，RC＝4x，

設⊙O的半徑為2a，

4a2+16x2＝（3x+2a）2，x＝a，

∵△OCR∽△GFR

∴，

∴，

∴a＝2，

∴⊙O的半徑＝4．