Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，，，點在邊上，，點是射線上一個動點（不與點、重合），聯結交射線于點，設，.

（1）求的長；

（2）當動點在線段上時，試求與之間的函數解析式，并寫出函數的定義域；

（3）當動點運動時，直線與直線的夾角等于，請直接寫出這時線段的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）線段的長為或13

【解析】

（1）如圖1中，作AH⊥BC于H，解直角三角形求出EH，CH即可解決問題．
（2）延長AD交BM的延長線于G．利用平行線分線段成比例定理構建關系式即可解決問題．
（3）分兩種情形：①如圖3-1中，當點M在線段DC上時，∠BNE=∠ABC=45°．②如圖3-2中，當點M在線段DC的延長線上時，∠ANB=∠ABE=45°，利用相似三角形的性質即可解決問題．

：（1）如圖1中，作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠C=90°，

∴∠AHC=∠C=∠D=90°，
∴四邊形AHCD是矩形，
∴AD=CH=2，AH=CD=3，
∵tan∠AEC=3，
∴=3，
∴EH=1，CE=1+2=3，
∴BE=BC-CE=5-3=2．

（2）延長，交于點，

∵AG∥BC，

∴，

∴，

∵，

∴.

解得：

（3）①如圖3-1中，當點M在線段DC上時，∠BNE=∠ABC=45°，

∵，

，

則有，解得：

②如圖3-2中，當點M在線段DC的延長線上時，∠ANB=∠ABE=45°，

∵，

∴，

則有，

解得

綜上所述：線段的長為或13.