Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于E，EF∥BC交AC于F．

（1）求證：△EDF∽△ADE；
（2）猜想：線段DC，DF、DA之間存在什么關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°，

∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠C=90°，

∴∠DFE=∠DEA，

而∠FDE=∠EDA，

∴△EDF∽△ADE；

（2）解：DC2=DFDA．理由如下：

∵△EDF∽△ADE，

∴DE：DA=DF：DE，

即DE2=DFDA，

∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，

∴DE=DC，

∴DC2=DFDA

【解析】（1）兩三角形已有直角對應相等，只需再證一個角相等即可，利用余角性質即可；（2）由相似三角形的判定可得出比例式，變形為乘積式.
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．