Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，m）在邊AB上，反比例函數y= （k≠0）在第一象限內的圖象經過點D、E，且cos∠BOA= ．

（1）求邊AB的長；
（2）求反比例函數的解析式和m的值；
（3）若反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，點G、H分別是y軸、x軸上的點，當△OGH≌△FGH時，求線段OG的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵點E（4，m）在邊AB上，

∴OA=4，

在Rt△AOB中，

∵cos∠BOA= ，

∴OB=5，

∴AB= =3

（2）

解：由（1），可得點B的坐標為（4，3），

∵點D為OB的中點，

∴點D（2，1.5）．

∵點D在反比例函數 （k≠0）的圖象上，

∴k=3，

∴反比例函數解析式為 ，

又∵點E（4，n）在反比例函數圖象上，

∴

（3）

解：設點F（a，3），

∵反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，

∴a=1，

∴CF=1，

設OG=x，

∵△OGH≌△FGH，

∴OG=FG=x，CG=3﹣x，

在Rt△CGF中，

由勾股定理可得GF2=CF2+CG2，

即x2=（3﹣x）2+12，

解得x= ，

∴OG=

【解析】（1）由矩形的性質可求得OA，由三角函數定義可求得OB，則可求得AB的長；（2）由條件可求得D點坐標，代入反比例函數解析式，可求得其解析式，把E點坐標代入解析式可求得m的值；（3）由反比例函數解析式可求得F點坐標，則可求得CF的長，設OG=x，利用三角形全等的性質可表示出CG和FG，在Rt△CGF中利用勾股定理可得到方程，可求得OG的長．
【考點精析】通過靈活運用反比例函數的性質和矩形的性質，掌握性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．