Question

【題目】我們知道：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧；平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦．你可以利用這一結論解決問題：

如圖，點P在以MN（南北方向）為直徑的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于點Q，垂足為H，PQ≠MN，弦PC、PD分別交MN于點E、F，且PE=PF．

（1）比較與的大小；

（2）若OH=2，求證：OP∥CD；

（3）設直線MN、CD相交所成的銳角為α，試確定cosα=時，點P的位置．

Answer 1

【答案】(1) =；（2）點P到MN的距離為2．

【解析】

試題分析：（1）根據等腰三角形的性質，由PE=PF，PH⊥EF可判斷PH平分∠FPE，然后根據圓中角定理得到=；（2）連結CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如圖，先計算出PH=2，則可判斷△OPH為等腰直角三角形得到∠OPQ=45°，再判斷△OPQ為等腰直角三角形得到∠POQ=90°，然后根據垂徑的推理由=得到OQ⊥CD，則根據平行線的判定方法得OP∥CD；（3）直線CD交MN于A，如圖，由特殊角的三角函數值得∠α=30°，即直線MN、CD相交所成的銳角為30°，利用OB⊥CD得到∠AOB=60°，則∠POH=60°，然后在Rt△POH中利用正弦的定義計算出PH即可．

試題解析：（1）解：∵PE=PF，PH⊥EF，

∴PH平分∠FPE，

∴∠DPQ=∠CPQ，

∴=；

（2）證明：連結CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如圖，

∵OH=2，OP=4，

∴PH==2，

∴△OPH為等腰直角三角形，

∴∠OPQ=45°，

而OP=OQ，

∴△OPQ為等腰直角三角形，

∴∠POQ=90°，

∴OP⊥OQ，

∵=，

∴OQ⊥CD，

∴OP∥CD；

（3）解：直線CD交MN于A，如圖，

∵cosα=，

∴∠α=30°，即直線MN、CD相交所成的銳角為30°，

而OB⊥CD，

∴∠AOB=60°，

∵OH⊥PQ，

∴∠POH=60°，

在Rt△POH中，∵sin∠POH=，

∴PH=4sin60°=2，

即點P到MN的距離為2．