Question

（2006•惠安縣質檢）如圖，等腰直角三角形ABC的斜邊BC在x軸上，且BC=4，點D是BC的中點，點A在第一象限內，AB與y軸相交于點E．已知點B（-1，0），點P是AC上的一個動點（與點A、C不重合）．
（1）請直接寫出A、E的坐標；
（2）若拋物線y=-x²+bx+c過點A、E，求拋物線的解析式；
（3）連接PB、PD，設△PBD的周長為L，請通過畫圖（不必寫畫法）找出點P在什么位置時，L取最小值，求點P的坐標，并判斷此時點P是否在（2）中的拋物線上，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于三角形ABC是等腰直角三角形，而D是BC的中點，如果連接AD，那么AD就垂直平分BC，根據BC=4和B點的坐標即可得出BD=AD=CD=2，那么D的坐標是（1，0），C（3，0），A（1，2）．而∠ABC=45°，因此直角三角形BOE中，BO=OE=1，因此E的坐標是（0，1）．
（2）根據（1）的A，E的坐標，可用待定系數法求函數的解析式．
（3）當L最小時，點P應該是D關于AC對稱的點與B點的連線，兩線相交的交點就是P點．那么求P的坐標就要求出直線BD′和直線AC的解析式．根據D關于AC對稱，可求出D′的坐標，那么有了B，D′，A，C四點的坐標，可用待定系數法求出兩條直線的解析式，然后將兩個函數式聯立方程組即可求出P的坐標．然后將P的坐標代入（2）的函數式中，從而判斷出P點是否在拋物線上．
解答：解：（1）A（1，2），E（0，1）；

（2）依題意得：
解得：
∴y=-x²+x+1；

（3）通過畫圖找出點P的位置，如圖所示．
設點D（1，0）關于直線AC的對稱點D′
由對稱性可求D′（3，2）
直線AC過A（1，2），C（3，0）
設y=k₁x+b₁，則
解得∴y=-x+3
直線BD′過點B（-1，0），D′（3，2）
設y=k₂x+b₂，則，
解得∴y=x+
由
解得
∴交點坐標為（，）
當x=時，y=-×（）²+×+1=
∴點P在拋物線上．
點評：本題主要考查了用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式，（3）中正確地作出P點的位置是解題的關鍵．