Question

【題目】問題情境:

在綜合實踐課上，張老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動，張老師拿著一張矩形紙片ABCD，其中AB=acm, AD=bcm, 如圖1，先沿對角線BD折疊，點C落在點E的位置，BE交AD于點F.

操作發現：

（1）“奮進”小組發現與BF的長度一定相等的線段是哪一條；

（2）如圖2．“雄鷹”小組將圖1再折疊一次，使點D與點A重合，得到折痕GH，GH交AD于點M，發現△DGH是等腰三角形，請你證明這個結論；

實踐探究：

（3）“創新”小組將自己準備的矩形紙片按照（2）中“雄鷹”小組的作法操作，發現點E和點G重合，，如圖3，試探究“創新”小組準備的矩形紙片中a與b滿足的數量關系；

（4）”愛心”小組在其他小組的基礎上提出問題：當a與b滿足什么關系時，點G是DE的中點？請你直接出a與b滿足的關系.

Answer 1

【答案】（1）BF=DF,（2）△DGH是等腰三角形,（3）b=(4)a=b

【解析】

（1）根據折疊的條件,證明△AFB≌△EFD(AAS)即可解題,

（2）找到對稱軸,證明GH平行CD,利用內錯角相等得∠GHD=∠HDC,由折疊得∠GDH=∠GHD,等量代換得∠GDH=∠GHD,等角對等邊即可解題.

（3）在Rt△BED中利用斜邊中線等于斜邊一半,得BD=2EH,根據已知,用代數式表示出BD和EH的長即可解題,

（4）根據題意,證明四邊形ABCD是正方形,即可直接寫出a=b的結論.

解：（1）BF=DF,

由折疊可知:AB=DE,∠A=∠E,∠AFB=∠EFD,

∴△AFB≌△EFD(AAS)

∴BF=DF,

（2）由（1）可知∠GDH=∠HDC

由圖可知：GH為對稱軸,點D和點A關于GH對稱,即GH垂直平分AD,

∵四邊形ABCD是矩形,AD⊥CD,

∴GH∥CD,

∴∠GHD=∠HDC

∴∠GDH=∠GHD

∴△DGH是等腰三角形,

（3）由題可知,點H為對角線BD上的中點,EH=ED,

在Rt△BED中,BD=2EH（斜邊中線等于斜邊一半）

∵AB=acm, AD=bcm,

∴EH=ED=AB= a,BD=

∴=a,整理得：b=

(4)a=b

理由:根據題意可知,GH為中位線,GH∥EB,點A與E重合,此時圖形為正方形,

故a=b