Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝kx﹣4k+4與拋物線y＝x2﹣x交于A、B兩點．

（1）直線總經過定點，請直接寫出該定點的坐標；

（2）點P在拋物線上，當k＝﹣時，解決下列問題：

①在直線AB下方的拋物線上求點P，使得△PAB的面積等于20；

②連接OA，OB，OP，作PC⊥x軸于點C，若△POC和△ABO相似，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①P點坐標為，；② ，，，．

【解析】

（1）直線方程化為y＝k（x－4）＋4，對于任意k點總有一個坐標能滿足；（2）作PQ∥y軸，求出PQ，再由S△PAB等于20，根據三角形面積計算公式即可求出相應的坐標；AO＝，BO＝，AB＝，再根據勾股定理和相似三角形的定義即可求出，進而可求得P3和P4的值.

⑴ ；

直線方程化為，顯然，對于任意的k，點的坐標總能滿足直線方程．

⑵ 當時，直線方程為．

聯立方程組解得，．

① 如圖1，作∥軸，交AB于點Q，則

．

。

令，即，解得當或4，相應的P點坐標為，；

② ，，，．

，，．

∵，∴．

（i）△POC∽△ABO時，．

即．解得，，

得，；

（ii）△POC∽△BAO時，．

即．解得，．

得，．