Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將DE繞點(diǎn)D按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到DF，連接AF，

（1）當(dāng)∠EAD=90°時(shí)，AF=________________．

（2）在E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，AF的最大值是________________．

Answer 1

【答案】或5 ；

【解析】

（1）當(dāng)∠EAD=90°時(shí)，分兩種情況：①如圖：當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上和當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A下方，即A于AB的交點(diǎn)就是點(diǎn)E時(shí).根據(jù)旋轉(zhuǎn)后大小不變和正方形邊長相等，可以證明三角形全等，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)邊相等，再根據(jù)勾股定理可得斜邊AF的長；

（2）先構(gòu)造出全等三角形，判斷出點(diǎn)F在AC的延長線上時(shí)，AF最大值，進(jìn)而確定出點(diǎn)E的位置，再判斷出AF最大時(shí)，點(diǎn)C在AF上，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AC，從而得出AF的最大值．

解：（1）∠EAD=90°時(shí)，

①如圖：當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上時(shí)，

∵DE=DF DA=DC，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF

∴AE=CF=1 BF=BC-CF=2

∴在Rt△ABF中，AF= ==；

②如圖：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A下方，即A于AB的交點(diǎn)就是點(diǎn)E時(shí)：

方法同①可得Rt△ADE≌Rt△CDF，AE=CF=1

∴BF=BC+CF=4

∴在Rt△ABF中，AF= ==5.

故答案為：或5 ；

（2）解：如圖1，

連接AE，CF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
由旋轉(zhuǎn)知，DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴CF=AE=1，
∴點(diǎn)F的軌跡是以點(diǎn)C為圓心，半徑為1圓，
∴點(diǎn)F在AC的延長線上時(shí)，AF最大；
如圖，過點(diǎn)A作∠EAB=45°交⊙A于點(diǎn)E，此時(shí)旋轉(zhuǎn)后AF最大，過點(diǎn)E作EG⊥AD交DA延長線于G，

在Rt△AEG中，AE=1，∠GAE=∠EAB=45°，
∴EG=AG=，
∵∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF=AE=1，∠DCF=∠DAE=∠BAD+∠EAB=90°+45°=135°，
∴點(diǎn)C在線段AF上，
∴AF=AC+CF，
∵AC是邊長為3的正方形的對(duì)角線，
∴AC=3，
∴AF=3+1，
即：AF的最大值是3+1，

故答案為：3+1.