Question

將兩個全等的直角三角形△ABC和△DEB按圖1方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90゜，∠A=∠D=30゜，點E落在AB上．DE所在直線交AC所在直線于點F
（1）求證：AF+EF=DE；
（2）若將圖1中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉α，且0゜＜α＜60゜，畫出圖形并證明AF+EF=DE；
（3）若將圖1中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉角β，且60゜＜β＜180゜，求證：AF-EF=DE．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉的性質以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，進而得出答案；
（2）利用旋轉的性質以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，進而得出答案；
（3）利用旋轉的性質以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，進而得出答案．

解答：證明：（1）如圖①所示，連接BF，
∵BC=BE，
在Rt△BCF和Rt△BEF中

BF=BF BC=BE

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；

（2）如圖②所示：
延長DE交AC與點F，連接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中

BF=BF BC=BE

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；

 （3）如圖③所示：
連接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中

BF=BF BC=BE

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF-FC=AC=DE，
∴AF-EF=DE．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及旋轉的性質，根據已知得出全等三角形是解題關鍵．