Question

如圖，圓內接四邊形ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，AC=2，則四邊形ABCD的面積為（　　）

• A、4
• B、2
• C、

  2

• D、

  3

Answer 1

分析：連接BD，在AC上取CE=CD，連接DE，作AF⊥BC，交BC延長線于F，作AG⊥DC，交CD于G，先證明△ABD是等邊三角形，再證明△CDE同樣是等邊三角形，可得BC+CD=AC=2，在構造的直角三角形中利用三角函數分別求出△ABC和△ACD的高，根據四邊形ABCD的面積=S_△ABC+S_△ACD即可求解．

解答：解：連接BD，
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形．
在AC上取CE=CD，連接DE，
∵∠ECD=∠ABD=60°，
∴△CDE同樣是等邊三角形，
∴CE=CD=DE，BD=AD，∠ADE=∠ADB-∠EDB，∠BDC=∠EDC-∠EDB，
∴∠ADE=∠BDC，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，
∴BC+CD=AC=2
作AF⊥BC，交BC延長線于F，作AG⊥DC，交CD于G，
∠ACB=∠ADB=60°（同弧圓周角相等）
AF=ACsin60°=

3

2

×2=

3

同理，AG=ACsin60°=

3

，
四邊形ABCD的面積=S_△ABC+S_△ACD=

1

2

BC•AF+

1

2

AG•CD=

1

2

×

3

（BC+CD）=

3

2

AC=

3

．
故選D．

點評：本題難度比較大，其中涉及了多步輔助線的作法．分析題意正確地作出輔助線是解題的關鍵．其中在AC上取CE=CD，連接DE，構造等邊三角形是個難點．求出BC+CD=AC=2是求四邊形面積的關鍵步驟．