Question

【題目】已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E，點F是點E關于AB的對稱點，連接AF、BF

（1）求AE和BE的長；

（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經過的線段長度）.當點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應的m的值；

（3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的△ABF為△A′BF′，在旋轉過程中，設A′F′所在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q.是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4，3；（2）當點F在線段AB上時，；當點F在線段AD上時，；

（3）存在，或或或．.

【解析】

（1）利用矩形性質、勾股定理及三角形面積公式求解；

（2）依題意畫出圖形，如答圖2所示．利用平移性質，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；

（3）在旋轉過程中，等腰△DPQ有4種情形，如答圖3所示，對于各種情形分別進行計算．

解：（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=，

由勾股定理得：BD===．

∵=BDAE=ABAD，

∴AE==4．

在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，

由勾股定理得：BE=3；

（2）設平移中的三角形為△A′B′F′，如答圖2所示：

由對稱點性質可知，∠1=∠2．

由平移性質可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．

①當點F′落在AB上時，

∵AB∥A′B′，

∴∠3=∠4，

∴∠3=∠2，

∴BB′=B′F′=3，即m=3；

②當點F′落在AD上時，

∵AB∥A′B′，

∴∠6=∠2，

∵∠1=∠2，∠5=∠1，

∴∠5=∠6，

又易知A′B′⊥AD，

∴△B′F′D為等腰三角形，

∴B′D=B′F′=3，

∴BB′=BD﹣B′D=﹣3=，即m=；

（3）存在．理由如下：

在旋轉過程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：

①如答圖3﹣1所示，點Q落在BD延長線上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，

∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，

∴∠3=∠Q，

∴A′Q=A′B=5，

∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ==．

∴DQ=BQ﹣BD=；

②如答圖3﹣2所示，點Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠P，

∴BA′∥PD，則此時點A′落在BC邊上．

∵∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∴BQ=A′Q，

∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ．

在Rt△BQF′中，由勾股定理得：，

即，

解得：BQ=，

∴DQ=BD﹣BQ==；

③如答圖3﹣3所示，點Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．

∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，

∴∠4=90°﹣∠2．

∵∠1=∠2，

∴∠4=90°﹣∠1．

∴∠A′QB=∠4=90°﹣∠1，

∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣∠1，

∴∠A′QB=∠A′BQ，

∴A′Q=A′B=5，

∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1．

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ==，

∴DQ=BD﹣BQ=；

④如答圖3﹣4所示，點Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

∴BQ=BA′=5，

∴DQ=BD﹣BQ=﹣5=．

綜上所述，存在4組符合條件的點P、點Q，使△DPQ為等腰三角形；

DQ的長度分別為或或或．