Question

【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB=8．
問題思考：
如圖1，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和是定值嗎？若是，請(qǐng)求出；若不是，請(qǐng)求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值．
（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點(diǎn)K，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形？請(qǐng)說明理由．
問題拓展：
（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ=8．若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)．

（4）如圖3，在“問題思考”中，若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BN=1，點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中，GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)及OM+OB的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和不是定值．

設(shè)AP=x，則PB=8﹣x，

根據(jù)題意得這兩個(gè)正方形面積之和=x2+（8﹣x）2

=2x2﹣16x+64

=2（x﹣4）2+32，

所以當(dāng)x=4時(shí)，這兩個(gè)正方形面積之和有最小值，最小值為32．

（2）

解：存在兩個(gè)面積始終相等的三角形，它們是△APK與△DFK．

依題意畫出圖形，如答圖2所示．

設(shè)AP=a，則PB=BF=8﹣a．

∵PE∥BF，

∴ ，即 ，

∴PK= ，

∴DK=PD﹣PK=a﹣ = ，

∴S△APK= PKPA= a= ，S△DFK= DKEF= （8﹣a）= ，

∴S△APK=S△DFK．

（3）

解：當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)Q在DA邊上，

若點(diǎn)P在點(diǎn)A，點(diǎn)Q在點(diǎn)D，此時(shí)PQ的中點(diǎn)O即為DA邊的中點(diǎn)；

若點(diǎn)Q在DA邊上，且不在點(diǎn)D，則點(diǎn)P在AB上，且不在點(diǎn)A．

此時(shí)在Rt△APQ中，O為PQ的中點(diǎn)，所以AO= PQ=4．

所以點(diǎn)O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90°的圓弧上．

PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示：

所以PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)為： ×2π×4=6π．

（4）

解：點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為3，OM+OB的最小值為 ．

如答圖4﹣1，分別過點(diǎn)G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)R、S、T，則四邊形GRTH為梯形．

∵點(diǎn)O為中點(diǎn)，

∴OS= （GR+HT）= （AP+PB）=4，即OS為定值．

∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑在與AB距離為4的平行線上．

∵M(jìn)N=6，點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)O為GH中點(diǎn)，

∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為線段XY，XY= MN=3，XY∥AB且平行線之間距離為，點(diǎn)X與點(diǎn)A、點(diǎn)Y與點(diǎn)B之間的水平距離均為2.5．

如答圖4﹣2，作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接BM′，與XY交于點(diǎn)O．

由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，此時(shí)OM+OB=BM′最小．

在Rt△BMM′中，MM′=2×4=8，BM=7，由勾股定理得：BM′= = ．

∴OM+OB的最小值為 ．

【解析】（1）設(shè)AP=x，則PB=8﹣x，根據(jù)正方形的面積公式得到這兩個(gè)正方形面積之和=x2+（8﹣x）2 ， 配方得到2（x﹣4）2+32，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．（2）根據(jù)PE∥BF求得PK= ，進(jìn)而求得DK=PD﹣PK=a﹣ = ，然后根據(jù)面積公式即可求得．（3）本問涉及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示；（4）本問涉及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．GH中點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，如答圖4﹣1所示；然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，求出OM+OB的最小值，如答圖4﹣2所示．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．