Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B和D(4，-

2

3

)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如果點P由點A出發沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動，同
時點Q由點B出發沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設S=PQ²（cm²）
①試求出S與運動時間t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
②當S取

5

4

時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．
（3）在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，求出A、B、D的坐標代入即可；
（2）①由勾股定理即可求出，②假設存在點R，可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形，求出P、Q的坐標，再分為兩種種情況：A、B、C即可根據平行四邊形的性質求出R的坐標．
（3）A關于拋物線的對稱軸的對稱點為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M，求出直線BD的解析式，把拋物線的對稱軸x=1代入即可求出M的坐標．

解答：解：（1）設拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
∵正方形的邊長2，
∴B的坐標（2，-2）A點的坐標是（0，-2），
把A（0，-2），B（2，-2），D（4，-

2

3

）代入得：

c=-2 4a+2b+c=-2 16a+4b+c=- 2 3

，
解得a=

1

6

，b=-

1

3

，c=-2，
∴拋物線的解析式為：y=

1

6

x2-

1

3

x-2，
答：拋物線的解析式為：y=

1

6

x2-

1

3

x-2．

（2）①由圖象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ²=PB²+BQ²，
=（2-2t）²+t²，
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）．
答：S與運動時間t之間的函數關系式是S=5t²-8t+4，t的取值范圍是0≤t≤1．
②解：假設存在點R，可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形．
∵S=5t²-8t+4（0≤t≤1），
∴當S=

5

4

時，5t²-8t+4=

5

4

，得20t²-32t+11=0，
解得t=

1

2

，t=

11

10

（不合題意，舍去），
此時點P的坐標為（1，-2），Q點的坐標為（2，-

3

2

），
若R點存在，分情況討論：
（i）假設R在BQ的右邊，如圖（1）所示，這時QR=PB，RQ∥PB，
則R的橫坐標為3，R的縱坐標為-

3

2

，
即R（3，-

3

2

），
代入y=

1

6

x2-

1

3

x-2，左右兩邊相等，
∴這時存在R（3，-

3

2

）滿足題意；

（ii）假設R在QB的左邊時，這時PR=QB，PR∥QB，
則R（1，-

5

2

）代入，y=

1

6

x2-

1

3

x-2，
左右不相等，∴R不在拋物線上．
綜上所述，存在一點R（3，-

3

2

）滿足題意．
則存在，R點的坐標是（3，-

3

2

）；

（3）如圖（2），M′B=M′A，
∵A關于拋物線的對稱軸的對稱點為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M，
理由是：∵MA=MB，若M不為L與DB的交點，則三點B、M、D構成三角形，
∴|MD|-|MB|＜|DB|，
即M到D、A的距離之差為|DB|時，差值最大，
設直線BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐標代入得：

2k+b=-2 4k+b=- 2 3

，
解得：k=

2

3

，b=-

10

3

，
∴y=

2

3

x-

10

3

，
拋物線y=

1

6

x2-

1

3

x-2的對稱軸是x=1，
把x=1代入得：y=-

8

3

∴M的坐標為（1，-

8

3

）；
答：M的坐標為（1，-

8

3

）．

點評：本題主要考查了用待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，勾股定理，平行四邊形的性質，二次函數圖象上點的坐標特征等知識點，解此題的關鍵是綜合運用這些知識進行計算．此題綜合性強，是一道難度較大的題目．