Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)為C，其頂點(diǎn)為D，連接BD，點(diǎn)P是線(xiàn)段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線(xiàn)，垂足為E，連接BE．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為s，求s與x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)s取得最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x的垂線(xiàn)，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線(xiàn)EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'，請(qǐng)直接寫(xiě)出P'點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P'是否在該拋物線(xiàn)上．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，分別求出a、b的值，再代入拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3即可求出它的解析式．
（2）本題首先設(shè)出BD解析式y(tǒng)=kx+b，再把B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據(jù)面積公式即可求出最大值．
（3）本題需先根據(jù)（2）得出最大值來(lái)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得出四邊形PEOF是矩形，再作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′設(shè)出MC=m，則MF=m．從而得出P′M與P′E的值，根據(jù)勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐標(biāo)，判斷出不在拋物線(xiàn)上．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)
∴把（-1，0）B（3，0）代入拋物線(xiàn)得：a=-1，b=2，
∴拋物線(xiàn)解析式為：y=-x²+2x+3．
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）設(shè)直線(xiàn)BD解析式為：y=kx+b（k≠0），把B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得

3k+b=0 k+b=4

，
解得k=-2，b=6，
直線(xiàn)BD解析式為y=-2x+6，
S=

1

2

PE•OE，
S=

1

2

PE•OE=

1

2

xy=

1

2

x（-2x+6）=-x²+3x，
∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），B（3，0）
∴1＜x＜3，
∴S=-x²+3x（1＜x＜3），
S=-（x²-3x+

9

4

）+

9

4

，
=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，S取得最大值，最大值為

9

4

；

（3）當(dāng)S取得最大值，x=

3

2

，y=3，
∴P（

3

2

，3），
∴四邊形PEOF是矩形．
作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接P′E，P′F．
過(guò)P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點(diǎn)M，
設(shè)MC=m，則MF=m，P′M=3-m，P′E=

3

2

，
在Rt△P′MC中，由勾股定理，
（

3

2

）²+（3-m）²=m²，
解得m=

15

8

，
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=

9

10

，
由△EHP′∽△EP′M，
可得

EH

EP′

=

EP′

EM

，
∴

EH

3 2

=

3 2

15 8

解得：EH=

6

5

．
∴OH=3-

6

5

=

9

5

．
∴P′坐標(biāo)（-

9

10

，

9

5

）．
不在拋物線(xiàn)上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，在解題時(shí)要根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，去求答案是解題的關(guān)鍵．