Question

【題目】四邊形為正方形，點為線段上一點，連接，過點作，交射線于點，以、為鄰邊作矩形，連接．

如圖，求證：矩形是正方形；

若，，求的長度；

當線段與正方形的某條邊的夾角是時，直接寫出的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，根據已知條件結合圖形易證Rt△EQF≌Rt△EPD，根據全等三角形的性質可得EF=ED，根據正方形的判定定理即可證得結論；（2）通過計算發現E是AC中點，點F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解答；（3）分①與的夾角為和②與的夾角為時兩種況解答即可.

證明：作于，于，

∵，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴矩形是正方形；

如圖中，在中．，

∵，

∴，

∴點與重合，此時是等腰直角三角形，易知．

①當與的夾角為時，，

②當與的夾角為時，

綜上所述，或．