Question

【題目】在等邊中，于點，點為上任意一點，連接，點為的中點，點為上一點，且，連接、、．

（1）若，，求的長；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見詳解

【解析】

（1）根據等邊三角形性質可知BD=BC=,利用勾股定理求出AD的長，再利用勾股定理求出BF的值；

（2）先延長EG至H，使GH=EG，連接BH、CH、FH，構造全等三角形，證四邊形BHFE是平行四邊形，推出BH∥EF，再由AE=EF，推出AC∥EF，得出AC∥BH，根據平行線的性質推出∠ACB=∠CBH=60°，根據三角形全等的判定和性質得出△CEH是等邊三角形，再根據等邊三角形性質求得結論即可．

（1）解：∵在等邊中，于點，

∴AC=BC=AB=，BD=BC=

∴AD=

∵

∴DF=15-6=9

∴BF=

（2）證明：延長EG至H，使GH=EG，連接BH、CH、FH，

∵點為的中點，∴BG=FG

∴四邊形BHFE是平行四邊形，

∴BH=EF，BH∥EF

∵AE=EF ∴BH=AE，∠EAF=∠EFA=∠DAC

∴AC∥EF ∴AC∥BH

∴∠ACB=∠CBH=60°

在△AEC和△BHC中

∴△AEC≌△BHC(SAS)

∴∠ACE=∠BCH EC=HC

∴∠ECB+∠ACE=∠ECB+∠BCH=60°即∠ECH=60°

∴△CEH是等邊三角形，GH=EG，

∴∠CGE=90°，∠ECG=30°

∴tan30°=EG∶CG=1∶

∴CG=EG