Question

【題目】 如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，交y軸正半軸于C點，D為拋物線的頂點，A（-1，0），B（3，0）．

（1）求出二次函數的表達式．

（2）點P在x軸上，且∠PCB=∠CBD，求點P的坐標．

（3）在x軸上方拋物線上是否存在一點Q，使得以Q，C，B，O為頂點的四邊形被對角線分成面積相等的兩部分？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P（6，0）或P；（3）存在，點Q或．

【解析】

（1）將點A、B坐標代入解析式求出b、c的值即可得；

（2）∠PCB=∠CBD有兩種情況，①P在B的右側時，延長BD交y軸于點H，由∠OCB=∠OBC=45°，可證明∠HCB=∠CBP，從而△PCB≌△HBC，由直線BD即可求得：OH=OP=6，從而得到P點坐標；②P在B的左側時，此時PC∥BD，根據一次函數解析式即可求出P；

（3）分以下兩種情況分別求解，①點Q在y軸右側時，由OB=OC，可得出OQ是∠BOC的平分線，聯立二次函數解析式與直線OQ的解析式即可求解；②點Q在y軸左側時，可得這條對角線只能是BQ，過點C作x軸的平行線EF，過點Q，B分別作EF的垂線，垂足分別為F，E，延長FQ交x軸于點G，設點Q的坐標為(m，n)，根據S△BOQ=S△CBQ=S梯形FQBE-S△FCQ-S△BEC可得出關于m，n的關系式，再與二次函數的解析式聯立即可求解．

解：（1）將點A（-1，0），B（3，0）代入y=-x2+bx+c得，

，解得，

∴二次函數的表達式為y=-x2+2x+3；

（2）①當點P在點B右側時，延長BD交y軸于點H，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴點D的坐標為（1，4），

設直線BD的解析式為y=kx+b，則

，解得，即直線BD的解析式為y=-2x+6，

∴點H的坐標為（0，6），

∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠HCB=∠CBP=135°，

又∠PCB=∠CBD，BC=BC，

∴△PCB≌△HBC，

∴CH=PB，

∴OH=OB=6，

故此時點P的坐標為（6，0）；

②當點P（P′）在點B左側時，

直線BD的表達式為：y=-2x+6，

∵∠P′CB=∠CBD，則P′C∥BD，

則直線P′C的表達式為：y=-2x+3，

當y=0，x=，故此時點P′的坐標為，

綜上所述，點P的坐標為（6，0）或；

（3）存在．理由如下：①當點Q在y軸右側時，以Q，C，B，O為頂點的四邊形被對角線分成面積相等的兩部分，這條對角線只能是OQ，S△COQ=S△BOQ，如圖，

而OB=OC，故OQ是∠BOC的平分線，

即OQ的函數表達式為：y=x，

將y=x與y=-x2+2x+3聯立得，

-x2+2x+3=x，解得x=（舍去負值），

故此時點Q的坐標為（，）；

②當點Q在y軸左側時，以Q，C，B，O為頂點的四邊形被對角線分成面積相等的兩部分，這條對角線只能是BQ，S△BOQ=S△CBQ，如圖，過點C作x軸的平行線EF，過點Q，B分別作EF的垂線，垂足分別為F，E，延長FQ交x軸于點G，則QG⊥x軸，BE=CO=3=FG，BO=CE=3，

設點Q的坐標為(m，n)，則QG=n，FQ=3-n，OG=FC=-m，

∴S△BOQ=×3×n，

S△CBQ=S梯形FQBE-S△FCQ-S△BEC=×（3-n+3）×（3-m）-×(-m)×(3-n)-×3×3=(9-3m-3n)，

∴×3×n(9-3m-3n)，即m+2n=3①，

又點Q在二次函數圖象上得，n=-m2+2m+3②，

聯立①②得，，解得（舍去），

∴點Q的坐標為（-，）；

綜上所述，點Q的坐標為或．