Question

【題目】我們給出如下定義：把對角線互相垂直的四邊形叫做“對角線垂直四邊形”.

如圖，在四邊形中，，四邊形就是“對角線垂直四邊形”.

（1）下列四邊形，一定是“對角線垂直四邊形”的是_________.

①平行四邊形 ②矩形 ③菱形 ④正方形

（2）如圖，在“對角線垂直四邊形”中，點、、、分別是邊、、、的中點，求證：四邊形是矩形.

Answer 1

【答案】（1） ③④；（2）詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)“對角線垂直四邊形"的定義求解；

（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到HG//EF，HE//GF，則可判斷四邊形EFGH是平行四邊形，再證明∠EHG=90°，然后判斷四邊形EFGH是矩形；

(1) 菱形和正方形是“對角線垂直四邊形，故③④滿足題意.

(2)證明：∵點分別是邊、、、的中點，

∴，且；，且；.

∴.

∴四邊形是平行四邊形.

∵，

∴，

又∵，

∴.

∴.

∴是矩形.