Question

【題目】如圖，ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O且與AB、CD分別相交于點E、F，連接EC．

（1）求證：OE=OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周長是10，求ABCD的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OD=OB，DC∥AB，

∴∠FDO=∠EBO，

在△DFO和△BEO中， ，

∴△DFO≌△BEO（ASA），

∴OE=OF．

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，

∵EF⊥AC，

∴AE=CE，

∵△BEC的周長是10，

∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，

∴ABCD的周長=2（BC+AB）=20

【解析】（1）根據平行四邊形的性質得OD=OB，DC∥AB，根據平行線的性質得∠FDO=∠EBO，然后利用ASA證出△DFO≌△BEO，利用全等三角形的性質即可得出結論；
（2）根據平行四邊形的性質得AB=CD，AD=BC，OA=OC，然后根據中垂線的性質得AE=CE，根據三角形的周長得BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，進而得出平行四邊形的周長。
【考點精析】通過靈活運用線段垂直平分線的性質和平行四邊形的性質，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分即可以解答此題．