Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E為BC延長線上一點，且BD＝BE，連接DE，Q為DE的中點，有一動點P從B點出發，沿BC以每秒1個單位的速度向E點運動，運動時間為t秒．

(1)如圖1，連接DP、PQ，則S△DPQ＝_____(用含t的式子表示)；

(2)如圖2，M、N分別為AB、AD的中點，當t為何值時，四邊形MNQP為平行四邊形？請說明理由；

(3)如圖3，連接CQ，AQ，試判斷AQ、CQ的位置關系并加以證明．

Answer 1

【答案】(1)15﹣t；(2)t＝5時，四邊形MNQP為平行四邊形；(3)AQ⊥CQ.

【解析】

(1)由勾股定理可求BD＝10，由三角形的面積公式和S△DPQ＝(S△BED﹣S△BDP)可求解；

(2)當t＝5時，可得BP＝5＝BE，由中位線定理可得MN∥BD，MN＝BD＝5，PQ∥BD，PQ＝BD＝5，可得MN∥PQ，MN＝PQ，可得結論．

(3)連接BQ，由等腰三角形的性質可得∠AQD+∠BQA＝90°，由直角三角形的性質可得DQ＝CQ，∠DCQ＝∠CDQ，由“SAS”可證△ADQ≌△BCQ，可得∠AQD＝∠BQC，即可得結論．

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，

∴BC＝8，CD＝6，

∴BD＝＝10

∴BD＝BE＝10

∵Q為DE的中點，

∴S△DPQ＝S△DPE，

∴S△DPQ＝(S△BED﹣S△BDP)＝,

故答案為15﹣t

(2)當t＝5時，四邊形MNQP為平行四邊形，

理由如下：∵M、N分別為AB、AD的中點，

∴MN∥BD，MN＝BD＝5，

∵t＝5時，

∴BP＝5＝BE，且點Q是DE的中點，

∴PQ∥BD，PQ＝BD＝5

∴MN∥PQ，MN＝PQ

∴四邊形MNQP是平行四邊形

(3)AQ⊥CQ

理由如下：如圖，連接BQ，

∵BD＝BE，點Q是DE中點，

∴BQ⊥DE，

∴∠AQD+∠BQA＝90°

∵在Rt△DCE中，點Q是DE中點，

∴DQ＝CQ，

∴∠DCQ＝∠CDQ，且∠ADC＝∠BCD＝90°

∴∠ADQ＝∠BCQ，且BC＝AD，DQ＝CQ

∴△ADQ≌△BCQ(SAS)

∴∠AQD＝∠BQC，且∴∠AQD+∠BQA＝90°

∴∠BQC+∠BQA＝90°

∴∠AQC＝90°

∴AQ⊥CQ