Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）與x軸交于點A（﹣5，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點E為x軸下方拋物線上的一動點，當S△ABE=S△ABC時，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A、B兩點坐標代入解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y= x2+ x﹣5

（2）

解：在y= x2+ x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∵S△ABE=S△ABC，且E點在x軸下方，

∴E點縱坐標和C點縱坐標相同，

當y=﹣5時，代入可得 x2+ x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），

∴E點坐標為（﹣2，﹣5）；

（3）

解：假設存在滿足條件的P點，其坐標為（m， m2+ m﹣5），

如圖，連接AP、CE、AE，過E作ED⊥AC于點D，過P作PQ⊥x軸于點Q，

則AQ=AO+OQ=5+m，PQ=| m2+ m﹣5|，

在Rt△AOC中，OA=OC=5，則AC=5 ，∠ACO=∠DCE=45°，

由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC= ，

∴AD=AC﹣DC=5 ﹣ =4 ，

當∠BAP=∠CAE時，則△EDA∽△PQA，

∴ = ，即 = ，

∴ m2+ m﹣5= （5+m）或 m2+ m﹣5=﹣ （5+m），

當 m2+ m﹣5= （5+m）時，整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m= 或m=﹣5（與A點重合，舍去），

當 m2+ m﹣5=﹣ （5+m）時，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m= 或m=﹣5（與A點重合，舍去），

∴存在滿足條件的點P，其橫坐標為 或

【解析】本題主要考查二次函數的綜合運用．涉及到的知識點有待定系數法、三角形的面積、相似三角形的判定和性質及分類討論等．在（3）中利用∠BAP=∠CAE構造三角形相似是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性很強，難度適中．（1）把A、B兩點的坐標代入，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）當S△ABE=S△ABC時，可知E點和C點的縱坐標相同，可求得E點坐標；（3）在△CAE中，過E作ED⊥AC于點D，可求得ED和AD的長度，設出點P坐標，過P作PQ⊥x軸于點Q，由條件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的對應邊可得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的面積的相關知識，掌握三角形的面積=1/2×底×高，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．