Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0），交y軸于點B（0， ）．直線y=kx 過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D．

（1）求拋物線y= x2+bx+c與直線y=kx 的解析式；
（2）設點P是直線AD下方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E．探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設△PMN的周長為m，點P的橫坐標為x，求m與x的函數關系式，并求出m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y= x2+bx+c經過點A（﹣2，0）和B（0， ）

∴由此得 ，解得

∴拋物線的解析式是y= x2﹣ x﹣ ；

∵直線y=kx 經過點A（﹣2，0）

∴﹣2k+ =0，

解得：k= ，

∴直線的解析式是 y= x+

（2）

解：可求D的坐標是（8，7 ），點C的坐標是（0， ），

∴CE=6，

設P的坐標是（x， x2﹣ x﹣ ），則M的坐標是（x， x+ ）

因為點P在直線AD的下方，

此時PM=（ x+ ）﹣（ x2﹣ x﹣ ）=﹣ x2+ x+4，

由于PM∥y軸，要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，

即﹣ x2+ x+4=6

解這個方程得：x1=2，x2=4，

當x=2時，y=﹣3，

當x=4時，y=﹣ ，

因此，直線AD下方的拋物線上存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形，

點P的坐標是（2，﹣3）和（4，﹣ ）

（3）

解：在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC= =10

∴△CDE的周長是24，

∵PM∥y軸，∴∠PMN=∠DCE，

∵∠PNM=∠DEC=90°，∴△PMN∽△CDE，

∴ = ，即 = ，

化簡整理得：m與x的函數關系式是：m=﹣ x2+ x+ ，

m=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣3）2+15，

∵﹣ ＜0，

∴m有最大值，當x=3時，m的最大值是15．

【解析】（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出關于b、c的方程組，通過解方程組可以求得b、c的值；把點A的坐標代入一次函數解析式，列出關于k的方程，通過解方程求得k的值；（2）根據平行四邊形的性質推知EC=PM．易求點D的坐標是（8，7 ），點C的坐標是（0， ），則CE=6．設P的坐標是（x， x2﹣ x﹣ ），則M的坐標是（x， x+ ），
則PM=（ x+ ）﹣（ x2﹣ x﹣ ）=﹣ x2+ x+4，所以由EC=PM得到﹣ x2+ x+4=6，通過解方程求得點P的坐標是（2，﹣3）和（4，﹣ ）；（3）通過相似三角形△PMN∽△CDE的性質推知： = ，把相關數據代入并整理可以得出m與x的函數關系式是：m=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣3）2+15，
由拋物線的性質可以得到：m有最大值，當x=3時，m的最大值是15．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．