Question

【題目】如圖（1），拋物線y＝ax2+6x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y＝x+5經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖（2），若過(guò)點(diǎn)B的直線交直線AC于點(diǎn)M．

①當(dāng)BM⊥AC時(shí)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），作直線BM的平行線交AC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)B，M，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

②連結(jié)BC，當(dāng)直線BM與直線AC的夾角等于∠ACB的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+6x+5；（2）①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣4，或；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A，C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

①分四邊形BMQP為平行四邊形和四邊形BMPQ為平行四邊形兩種情況考慮：（i）當(dāng)四邊形BMQP為平行四邊形時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BP1∥AC，交拋物線于點(diǎn)P1，由直線AC的解析式結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出直線BP1的解析式，聯(lián)立直線BP1和拋物線的解析式成方程組，通過(guò)解方程組可得出點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)；（ii）當(dāng)四邊形BMPQ為平行四邊形時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD∥y軸，交直線BM于點(diǎn)D，易求點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣5，4），過(guò)點(diǎn)D作直線P2P3∥AC，交拋物線于點(diǎn)P2，P3，由直線AC的解析式結(jié)合點(diǎn)D的坐標(biāo)可得出直線P2P3的解析式，聯(lián)立直線P2P3和拋物線的解析式成方程組，通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)P2，P3的橫坐標(biāo)；

②作BC的垂直平分線l，垂足為E，交AC于點(diǎn)M1，作BN⊥AC于點(diǎn)N，作點(diǎn)M1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)M2，M1，M2符合條件，由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)可求出直線BC的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合直線l⊥BC可求出直線l的解析式，聯(lián)立直線l和直線AC的解析式成方程組，通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)M1的坐標(biāo)；由直線AC的解析式、點(diǎn)B的坐標(biāo)及BN⊥AC可求出直線ON的解析式，聯(lián)立直線ON和直線AC的解析式成方程組，通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)N為線段M1M2的中點(diǎn)可求出點(diǎn)M2的坐標(biāo)．

（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x+5＝5，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）；

當(dāng)y＝0時(shí)，x+5＝0，

解得：x＝﹣5，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣5，0）．

將A（﹣5，0），C（0，5）代入y＝ax2+6x+c，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝x2+6x+5．

（2）當(dāng)y＝0時(shí)，x2+6x+5＝0，

解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

①∵PQ∥BM，

∴分兩種情況考慮，如圖1所示：

（i）當(dāng)四邊形BMQP為平行四邊形時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BP1∥AC，交拋物線于點(diǎn)P1．

∵直線AC的解析式為y＝x+5，

∴設(shè)直線BP1的解析式為y＝x+b，

將B（﹣1，0）代入y＝x+b，得：﹣1+b＝0，

解得：b＝1，

∴直線BP1的解析式為y＝x+1．

聯(lián)立直線BP1和拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，，

∴點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為﹣4；

（ii）當(dāng)四邊形BMPQ為平行四邊形時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD∥y軸，交直線BM于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線P2P3∥AC，交拋物線于點(diǎn)P2，P3．

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝45°．

∵BM⊥AC，DA⊥AB，

∴∠AMB＝90°，∠ABM＝45°，∠ADM＝45°．

在△AMD和△AMB中，，

∴△AMD≌△AMB（AAS），

∴AD＝AB，DM＝BM．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣5，4）．

又∵直線AC的解析式為y＝x+5，

∴直線P2P3的解析式為y＝x+9．

聯(lián)立直線P2P3和拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，，

∴點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)P3的橫坐標(biāo)為．

綜上所述：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣4，或．

（3）作BC的垂直平分線l，垂足為E，交AC于點(diǎn)M1，作BN⊥AC于點(diǎn)N，作點(diǎn)M1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)M2，M1，M2符合條件．如圖2所示．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，），直線BC的解析式為y＝5x+5，

∴直線l的解析式為y＝﹣x+．

聯(lián)立直線l和直線AC的解析式成方程組，得：，

解得：，

∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（，）．

∵直線AC的解析式為y＝x+5，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），BN⊥AC，

∴直線ON的解析式為y＝﹣x﹣1．

聯(lián)立直線ON和直線AC的解析式成方程組，得：，

解得：，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣3，2）．

又∵點(diǎn)N為線段M1M2的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（，）．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）．