Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸的右交點為A，頂點D在矩形OABC的邊BC上，當y≤0時，x的取值范圍是1≤x≤5．
（1）求b，c的值；
（2）直線y=mx+n經過拋物線的頂點D，該直線在矩形OABC內部分割出的三角形的面積記為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍．

Answer 1

（1）∵拋物線y=x²+bx+c當y≤0時，x的取值范圍是1≤x≤5．
∴拋物線與x軸交于（1，0），（5，0）
∴

1+b+c=0 25+5b+c=0

解得：b=-6 c=5；

（2）∵b=-6 c=5，
∴拋物線的解析式為y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴點D的坐標為（3，-4），
∵直線y=mx+n經過拋物線的頂點D，
∴3m+n=-4，
即：n=-3m-4，
∴直線y=mx+n的解析式為y=mx-3m-4，
設直線DE與AB交于點E，
∴E點的坐標為（5，2m-4），
∴BD=2 AB=4 AE=4-2m BE=2m，
∴S=

1

2

BD•BE=±2m，
∵點E的縱坐標-5＜2m-4＜0
解得：-

1

2

＜m＜2且m≠0
∴自變量的取值范圍為：-

1

2

＜m＜2且m≠0，