Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，且以AB為直徑的圓經過點C．

（1）若點A（﹣2，0），點B（8，0），求ac的值；

（2）若點A（x1，0），B（x2，0），試探索ac是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

（3）若點D是圓與拋物線的交點（D與 A、B、C 不重合），在（1）的條件下，坐標軸上是否存在一點P，使得以P、B、C為頂點的三角形與△CBD相似？若存在，請直接寫出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）ac=﹣1；（2）ac的值是定值，為﹣1；（3）P的坐標為（2，0）或（﹣，0）或（0， ）或（0，16）．

【解析】試題分析：（1）設圓心點為M，利用A、B的坐標求出圓的半徑，然后根據勾股定理求出OC的長，求得C點，然后利用x軸的交點式y=a（x+2）（x﹣8）代入C點的坐標得到函數的解析式即可求解；

（2）根據坐標系中交點的坐標，利用三角形相似的判定得到△OAC∽△OCB，再根據相似三角形的性質，結合一元二次方程根與系數的關系求出ac=-1是一個定值；

（3）根據題意，分為點P在x軸上或點P在y軸上兩種情況，結合相似三角形的判定與性質可求P點的坐標.

試題解析：（1）設圓心為點M，

∵A（﹣2，0），B（8，0），

∴M（3，0），⊙M的半徑為5，

∴OC==4，

∴C（0，4），

設拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣8），

∵點C在拋物線上，

∴a×2×（﹣8）=4，

∴a=﹣，

∴y=﹣（x+2）（x﹣8）=﹣x2+x+4，

∴a=﹣，b=4，

∴ac=﹣1；

（2）ac的值是定值，為﹣1，

理由：∵點A（x1，0），B（x2，0），

∴OA=x1，OB=x2，OC=c，

∵∠OAC+∠OCA=90°，∠OCB+∠OCA=90°，

∴∠OAC=∠OCB，

∵∠AOC=∠BOC=90°，

∴△OAC∽△OCB，

∴，

∴OC2=OAOB，

∴c2=﹣x1x2，

令y=0時，0=ax2+bx+c，

∴x1x2=，

∴c2=﹣，

∴ac=﹣1；

（3）∵點D是圓與拋物線的交點（D與 A、B、C 不重合），C（0，4），

∴D（6，4），即：CD∥AB，

當點P在x軸上時，如圖1，設點P的坐標為（m，0），

∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），

∴BC=4，CD=6，BP=8﹣m，

∵CD∥AB，

∴∠BCD=∠ABC，

∵以P、B、C為頂點的三角形與△CBD相似，

∴①，

∴，

∴m=2，

∴P2（2，0），

或②，

∴，

∴m=﹣，

∴P1（﹣，0），

當點P在y軸上時，如圖2，

∵CD∥AB，

∴，

∵，

∴，

∴∠ABD=∠BCO，

∵CD∥AB，

∴∠BDC+∠ABC=180°，

∵∠BCO+∠BCy=180°，

∴∠BDC=∠BCy，

設P（0，n），

∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），

∴BC=4，CD=6，BD=2，CP=n﹣4，

∵以P、B、C為頂點的三角形與△CBD相似，

∴①，

∴，

∴n=，

∴P3（0，）

或②，

∴，

∴n=16，

∴P4（0，16），

即：滿足條件的點P的坐標為（2，0）或（﹣，0）或（0，）或（0，16）．