Question

已知：如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）.

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）寫出該二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）.問(wèn)：是否存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1） （2）對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4.5）
（3）Q（1,0） （4）存在，或或或

試題分析：（1）由題意，得 
解得 所求二次函數(shù)的關(guān)系式為：．
（2）對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4.5）
（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．
由，得，．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，．
，．，
即．．

．
又，
當(dāng)時(shí)，有最大值3，此時(shí)．
（4）存在
在中．
（ⅰ）若，，．
又在中，，．．
．此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
由，得，．
此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．
（ⅱ）若，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
由等腰三角形的性質(zhì)得：，，
在等腰直角中，．．
由，得，．
此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．（ⅲ）若，，且，
點(diǎn)到的距離為，而，
此時(shí)，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線，使得是等腰三角形．
所求點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或
點(diǎn)評(píng)：此類題目作為試卷的壓軸題，難度一般不小，一般來(lái)說(shuō)，第一第二問(wèn)比較容易，而通過(guò)求出函數(shù)的解析式，進(jìn)行接下來(lái)一系列的解答