Question

【題目】如圖 1，在平面直角坐標系中，A,B,D 三點的坐標是（0，2），（-2,0），（1,0），點C 是 x 軸下方一點，且 CD⊥AD,∠BAD+∠BCD=180°，AD=CD

(1)求證：BD 平分∠ABC

(2)求四邊形 ABCD 的面積

(3)如圖 2，BE 是∠ABO 的鄰補角的平分線，連接 AE,OE 交 AB 于點 F，若∠AEO=45°，求證：AF=AO.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）；（3）證明見解析；

【解析】

（1）過C作DM⊥BD于M，根據AAS判定△CDM≌△DOA，通過線段和差推出BM=MC=1得出∠CBD=45°進而得到∠CBD=∠ABO=45°即可證BD 平分∠ABC；

（2）將，再根據三角形的面積公式計算即可；
（3）過點E作作EH⊥x軸于點H，EG⊥BC于點G，根據角平分線的性質得到EH=EG，證明△EAG≌△EOH，得到EA=EO，根據等腰三角形的判定定理解答．

證明：（1）∵A(0,2)B(-2,0)D(1,0)
∴OA=OB=2,OD=1

∴∠ABO=∠BAO=45°
過C作DM⊥BD于M
∴∠CMD=90°
∴∠1+∠3=90°
∵CD⊥AD
∴∠ADC=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠2=∠3

又∵CD=AD，∠CMD=∠AOD =90°

∴△CDM≌△DOA
∴CM=OD=1，MD=AO=2

∴OM=1

∴BM=1

∴BM=MC=1

∴∠CBD=45°

∴∠CBD=∠ABO=45°

∴BD 平分∠ABC

(2)由（1）得A(0,2),B(-2,0),C(-1,-1),M(-1,0)

∴BD=3，AO=2,CM=1

∴

∴

(3)過點E作EH⊥x軸于點H，EG⊥BA于點G，

∴∠EHO=∠EGA =90°

∵E點在∠ABO的鄰補角的平分線上，EH⊥HO，EG⊥BA

∴EH=EG，

∵∠ABO=∠AEO=45，

∴∠EAG=∠EOH，

在△EAG和EOH中，

∴△EAG≌△EOH(AAS)，

∴EA=EO，

∵∠AEO=45°，

∴∠EAO=∠EOA=67.5°,

∵∠OAB=45°，

∴∠AFO=180°-∠OAB-∠AOE=67.5°

∴∠AOE=∠AFO=67.5°，

∴AF=AO