Question

如圖，直線y=kx+b交反比例函數y=

8 3

x

的圖象于點A（4，m）和點B，交x軸于點C，交y軸于點E（0，-2

3

）
（1）求C點的坐標；
（2）在y軸上是否存在點D使CD=DA？若存在，求出D點的坐標；若不存在，說明理由；
（3）取C點關于y軸的對稱點F，連EF，點P為△CEF外一點，連PE，PF，PC，當P在△CEF外運動時，若∠EPF=30°，有兩個結論：①PE²+PF²=PC²②PE+PF=PC+EF，其中只有一個結論正確，作選擇并證明．

Answer 1

（1）∵點A（4，m）在反比例函數y=

8 3

x

的圖象上，
∴m=

8 3

4

=2

3

，
∴點A的坐標為（4，2

3

），
∵點A（4，2

3

），點E（0，-2

3

）都在直線y=kx+b上，
∴

4k+b=2 3 b=-2 3

，
解得

k= 3 b=-2 3

，
∴直線解析式為y=

3

x-2

3

，
令y=0，則

3

x-2

3

=0，
解得x=2，
∴點C的坐標為（2，0）；

（2）y軸上存在點D（0，2

3

），使CD=DA．
理由如下：設點D的坐標為（0，y），
則CD=

(2-0)2+(0-y)2

，
AD=

(4-0)2+(2 3 -y)2

，
∵CD=DA，
∴

(2-0)2+(0-y)2

=

(4-0)2+(2 3 -y)2

，
兩邊平方并整理得，4

3

y-24=0，
解得y=2

3

，
∴y軸上存在點D（0，2

3

），使CD=DA；

（3）結論①PE²+PF²=PC²正確．
理由如下：∵點C坐標為（2，0），點E坐標為（0，-2

3

），
∴CE=

CO2+OE2

=

22+(2 3 )2

=4，tan∠ECO=

OE

OC

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ECO=60°，
又∵點F、C關于y軸對稱，
∴FC=2+2=4，
∴FC=CE，
∴△CEF是等邊三角形，
如圖，把△PCE繞點C順時針旋轉60°得到△P′C′E，連接PP′，
則點E與點F重合，△PP′C為等邊三角形，
根據三角形的外角性質，∠PFP′=∠CPF+∠CP′E′+∠PCP′，
=∠CPF+∠CPE+∠PCP′
=∠EPF+∠PCP′，
∵∠EPF=30°，
∴∠PFP′=30°+60°=90°，
∴△PFP′是直角三角形，
即P′E′²+PF²=PP′²，
∴PE²+PF²=PC²．
故結論①正確，結論②錯誤．