Question

【題目】在中，，以為邊作等腰直角，使，邊交于點.

(1)如圖1，過點作于點，當時，求線段的長；

(2)如圖2，過點作于點，且，連接， 若為的中點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）+1；（2）見解析；

【解析】

（1）利用等腰直角求出BD=2，∠ABD=45得到AH=，∠HAD=45,再由， 得到EC=BE，∠EAH=,利用勾股定理求出HE，即可得到EC的長；

（2）連接CD，利用SAS證明△ABF≌△DAC，得到AF=CD. 過點C作CH⊥AB,交BD于G，連接AG，通過證明△CGE≌△ADE證得四邊形ADCG是平行四邊形，得到AG=CD,

再根據得到AG=DG=BG，得到AF=CD=DG=2DE.

（1）∵等腰直角，，,

∴∠ABD=45，AB=,

∴BD=,

∵,

∴AH=，∠HAD=45,

∵， ，

∴,∠DAC=15,

∴,,∠EAH=,

∴∠C=∠EBC，

∴EC=BE

設HE=x，則AE=2x，

∵,

∴，

得x=1，∴HE=1，

∴EC=BE=BH+HE=+1.

(2)連接CD，

∵AC=BC,

∴∠ABC=∠BAC,

∵,

∴∠FBC=,

∴∠FBA=∠CAD,

∵是等腰直角三角形，

∴AB=AD,

∵AC=BC=FB,

∴△ABF≌△DAC,

∴AF=CD,

過點C作CH⊥AB,交BD于G，連接AG，

∴CH∥AD,

∴∠ACH=∠DAC,

∵∠CEG=∠AED,AE=CE,

∴△CGE≌△ADE,

∴CG=AD,GE=DE

∴四邊形ADCG是平行四邊形，

∴AG=CD,

∵AC=BC, CH⊥AB,

∴AH=BH,

∵CH∥AD,

∴,

∴BG=GD,

∴AG=BG=DG,

∴AG=2DE,

∴AF=CD=AG=2DE.