Question

【題目】如圖，點B、C、D都在半徑為4的⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求弦BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∵∠CDB=∠OBD，

∴CD∥AB，

又∵AC∥BD，

∴四邊形ABDC為平行四邊形，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC，

又∵OC是⊙O的半徑，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：由（1）知，OC⊥AC．

∵AC∥BD，

∴OC⊥BD，

∴BE=DE，

∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=4，

∴BE=OBcos30°=2 ，

∴BD=2BE=4

【解析】（1）根據圓周角的性質求得∠COB=2∠CDB=60°，然后證明四邊形ABDC為平行四邊形，從而證得∠A=∠D=30°，根據三角形的內角和定理證得∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC，從而證得AC是⊙O的切線；（2）根據平行線的性質得出∠OBD=30°，∠BEO=90°，然后通過直角三角函數即可求得BE，根據垂徑定理從而求得BD的長．