Question

（1）如圖1，已知?ABCD中，E為AD的中點，CE的延長線交BA的延長線于點F．求證：CD=FA．
（2）如圖2，在小山東側的A莊有一熱氣球，由于受西風的影響，以每分鐘35米的速度沿著與水平方向成75°角的方向飛行，40分鐘時到達C處．此時氣球上的人發現氣球與山頂P點及小山西側的B莊在一條直線上，同時測得B莊的俯角為30°．又在A莊測得山頂P的仰角為45°．求A莊與B莊的距離及山高．（保留準確值）

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質，-就可證明CD∥AB，∠CDA=∠DAF，又已知DE=AE，∠CED=∠AEF，符合全等三角形的判定中的ASA，即證△CDE≌△AEF，所以CD=AF．
（2）此題要先作AD⊥BC于D，PE⊥AB于E，則先求得AC的長，再求得AD的長、AB的長，然后在△PBA中，利用∠B和∠PAB的值求得PE的長．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB．
又∵CE的延長線交BA的延長線于點F，
∴∠CDA=∠DAF．
∵E是AD中點，
∴DE=AE．
∵∠CED=∠AEF，
∴△CDE≌△AEF．
∴CD=AF．
（2）如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，

在Rt△ACD中，∠ACD=75°-30°=45°，
AC=35×40=1400（米），
∴AD=AC•sin45°=700

2

（米）．
在Rt△ABD中，∠B=30°，
AB=2AD=1400

2

（米）．
又過點P作PE⊥AB，垂足為E，
則AE=PE•tan45°=PE，
BE=PE•tan60°=

3

PE，
∴(

3

+1)PE=1400

2

，
∴PE=700（

6

-

2

）（米）．
答：A莊與B莊的距離是1400

2

米，山高是700（

6

-

2

）米．

點評：本題第一問考查了平行四邊形的性質和全等三角形的判定的綜合運用，也是基礎題．本題第二問考查俯仰角的定義，要求學生能借助俯仰角構造直角三角形并解直角三角形．