Question

【題目】如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA邊和AB邊所在直線的解析式分別為：和．

（1）求正方形OABC的邊長(zhǎng)；

（2）現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從C、A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿折線A→O→C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒k個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒．當(dāng)k為何值時(shí)，將△CPQ沿它的一邊翻折，使得翻折前后的兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形？

（3）若正方形以每秒個(gè)單位的速度沿射線AO下滑，直至頂點(diǎn)C落在x軸上時(shí)停止下滑．設(shè)正方形在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）k=2或k=4；（3）．

【解析】

試題分析：（1）聯(lián)立方程組求得點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得到結(jié)果；

（2）有兩種情況：①Q在OA上，則CQ=PQ時(shí)能構(gòu)成菱形，根據(jù)題意列出2k=4即可求得；②Q點(diǎn)在OC上，則PC=QC時(shí)才能構(gòu)成菱形，根據(jù)題意列出2k=8即可求得；

（3）①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，t=3，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，設(shè)O′C′交x軸于點(diǎn)D，根據(jù)三角函數(shù)的定義tan∠DOO′=，即，求得DO′=t即可得到S=DO′OO′=tt=t2；②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=（5×）÷=4，當(dāng)3＜t≤4時(shí)，設(shè)A′B′交x軸于點(diǎn)E由于A′O=t-5，于是得到A′E=A′O=即可得到S=（A′E+O′D）A′O′=（+t）5=．

試題解析：（1）聯(lián)立，解得，

∴A（4，3），

∴OA=，

∴正方形OABC的邊長(zhǎng)為5；

（2）有兩種情況：

①Q在OA上，則CQ=PQ時(shí)能構(gòu)成菱形，

∵PC=2，

∴AQ=4時(shí)才能構(gòu)成CQ=PQ的等腰三角形，

∴2k=4，解得k=2，

②Q點(diǎn)在OC上，∵∠PCQ是直角，

∴只有沿這PQ邊對(duì)折才能構(gòu)成菱形，且PC=QC，

∵PC=2，

∴QC=2，

∴2k=OA+OC-QC=5+5-2=8，

∴k=4，

∴當(dāng)k=2或k=4時(shí)將△CPQ沿它的一邊翻折，使得翻折前后的兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形；

（3）①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，t=3，

當(dāng)0＜t≤3時(shí)，設(shè)O′C′交x軸于點(diǎn)D，

則tan∠DOO′=，即，

∴DO′=t，

∴S=DO′OO′=tt=t2，

②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=（5×）÷=4，

當(dāng)3＜t≤4時(shí)，設(shè)A′B′交x軸于點(diǎn)E，

∵A′O=t-5，

∴A′E=A′O=，

∴S=（A′E+O′D）A′O′=（A′E+O′D）A′O′=（+t）5=．