Question

【題目】如圖，拋物線交軸于點，交軸于點，已知經過點的直線的表達式為．

（1）求拋物線的函數表達式及其頂點的坐標；

（2）如圖①，點是線段上的一個動點，其中，作直線軸，交直線于，交拋物線于，作∥軸，交直線于點，四邊形為矩形．設矩形的周長為，寫出與的函數關系式，并求為何值時周長最大；

（3）如圖②，在拋物線的對稱軸上是否存在點，使點構成的三角形是以為腰的等腰三角形．若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

圖① 圖②

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為y=-x2-2x+3，頂點C坐標為（-1,4）；

（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；

當m=-時，最大值L=9；

（3）點Q的坐標為（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．

【解析】

試題（1）由直線經過A、B兩點可求得這兩點的坐標，然后代入二次函數解析式即可求出b、c的值，從而得到解析式，進而得到頂點的坐標；

（2）由題意可表示出D、E的坐標，從而得到DE的長，由已知條件可得DE=EF，從而可表示出矩形DEFG的周長L，利用二次函數的性質可求得最大值；

（3）分別以點A、點B為圓心，以AB長為半徑畫圓，圓與對稱軸的交點即為所求的點．

試題解析：（1）直線y=x+3與x軸相交于A（-3,0 ），與y軸相交于B（0,3）

拋物線y=-x2+bx+c經過A（-3,0 ），B（0,3），所以，

,

∴，

所以拋物線的表達式為y=-x2-2x+3，

∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,

所以，頂點坐標為C（-1,4）．

（2）因為D在直線y=x+3上，∴D（m,m+3）．

因為E在拋物線上，∴E（m，-m2-2m+3）．

DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．

由題意可知，AO=BO,

∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，

∴DE=EF．

L=4DE=-4m2-12m．

L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．

∵a=-4<0,

∴二次函數有最大值

當m=-時，最大值L=9．

（3）點Q的坐標為（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．