Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝3，PC＝.求∠CPA的度數(shù)．

Answer 1

【答案】135°

【解析】由于△ABC為等腰直角三角形，AB=AC，則把△APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△AP′C，連PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′AP=90°，P′A=PA=1，P′C=PB=3，得到△PAP′為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得P′P=PA=，∠APP′=45°，在△P′PC中，可得到PC2+P′P2=P′C2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△P′PC為直角三角形，∠CPP′=90°，利用∠CPA=∠CPP′+∠APP′進(jìn)行計(jì)算即可．

∵△ABC為等腰直角三角形，AB=AC，

∴把△APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△AP′C，連PP′，如圖，
∴∠P′AP=90°，P′A=PA=1，P′C=PB=3，
∴△PAP′為等腰直角三角形，
∴P′P=PA=，∠APP′=45°，
在△P′PC中，P′C=3，P′P=，PC=，
∵（）2+（）2=32，
∴PC2+P′P2=P′C2，
∴△P′PC為直角三角形，∠CPP′=90°，
∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°．

“點(diǎn)睛”本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．