Question

已知二次函數y=x²+px+q圖象的頂點M為直線y=

1

2

x與y=-x+m的交點，
（1）用含m的代數式來表示點M的坐標；
（2）若二次函數y=x²+px+q圖象經過A（0，3），求二次函數y=x²+px+q的解析式；
（3）在（2）中的二次函數y=x²+px+q的圖象與x軸有兩個交點，設與x軸的左交點為B，點P為拋物線對稱軸上一點，若△PAB為直角三角形，請求出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）已知直線y=

1

2

x和y=-x+m，列出方程求出x，y的等量關系式即可求出點M的坐標．
（2）將A點坐標代入y=(x-

2

3

m)2+

1

3

m，求出m的值即可得出解析式；
（3）利用①當∠BAP=90°時，②當∠ABP=90°時，③當∠APB=90°時，分別解出P點坐標即可．

解答：解：（1）由

y= 1 2 x y=-x+m

，
得 

x= 2 3 m y= 1 3 m

，
即交點M坐標為（

2

3

m，

1

3

m）；

（2）∵此時二次函數為y=(x-

2

3

m)2+

1

3

m過點A（0，3），
∴3=(0-

2

3

m)2+

1

3

m，
得m₁=-3，m2=

9

4

，
∴y=（x+2）²-1或者y=(x-

3

2

)2+

3

4

；

（3）∵二次函數y=(x-

3

2

)2+

3

4

與x軸沒有交點，
又∵二次函數y=x²+px+q的圖象與x軸有兩個交點時，
∴二次函數為y=x²+4x+3，與x軸的左交點B為（-3，0），對稱軸為直線x=-2
①當∠BAP=90°時，如圖1，作P₁D⊥y軸于點D，
設P點坐標為（-2，y），則P1A2+AB²=BP₁²，可得P1D2+AD ²+AB²=P1E2+BE ²．
即2²+（y-3）²+（3

2

）²=y²+1²．
解得：y=5，
可得P₁坐標為（-2，5），
②當∠ABP=90°時，如圖2，則BP₂ ²+AB²=AP₂ ²，設P點坐標為（-2，a），
即a²+1+（3

2

）²=（3-a）²+（-2）²
解得：a=-1，
可得P₂坐標為（-2，-1），
③當∠APB=90°時，同理可得P1A2+BP₁²=AB²，設P點坐標為（-2，b），
則（3

2

）²=（b-3）²+4+1+b²，
解得：b=

3

2

±

17

2

，
可得P在以AB為直徑的圓與直線x=-2的交點上，有兩個：
P₃（-2，

3

2

+

17

2

），P₄（-2，

3

2

-

17

2

），
綜上得，當P為（-2，5），（-2，-1），（-2，

3

2

+

17

2

）或（-2，

3

2

-

17

2

）時，△PAB為直角三角形．

點評：本題考查的是二次函數的綜合運用以及直角三角形的性質等知識，利用分類討論得出P點坐標是解題關鍵．