Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，2）、（-1，0）、（4，0）．P是線段OC上的一個動點（點P與點O、C不重合），動點P從原點出發(fā)沿x軸正方向運動，過點P作直線PQ平行于y軸與AC相交于點Q．設(shè)P點的運動距離l（0＜l＜4），點B關(guān)于直線PQ的對稱點為M．

（1）點M的坐標(biāo)為（2l+1，0）．
（2）求直線AC的表達(dá)式．
（3）連結(jié)MQ，若△QMC的面積為S，求S與l的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先求出BP，再利用對稱即可得出PM，進(jìn)而用l表示出OM即可得出點M坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法確定出直線AC表達(dá)式；
（3）分點M在線段OC和在射線OC兩種情況，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵動點P從原點出發(fā)沿x軸正方向運動，設(shè)P點的運動距離l，
∴OP=l，
∵B（-1，0），
∴BP=l+1，
∵點B關(guān)于直線PQ的對稱點為M．
∴PM=l+1，
∴OM=OP+PM=l+l+1=2l+1，
∴M（2l+1，0），
故答案為（2l+1，0）
（2）設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b，
∵A（0，2）、C（4，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的表達(dá)式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+2，
（3）如圖1，當(dāng)點M在線段OC上時，
∴2l+1≤4，
∴l(xiāng)≤$\frac{3}{2}$，
即：0＜l≤$\frac{3}{2}$時，Q（l，-$\frac{1}{2}$l+2），
∴PQ=-$\frac{1}{2}$l+2，MC=OC-OM=4-（2l+1）=3-2l，
∴S=S_△QMC=$\frac{1}{2}$MC•PQ=$\frac{1}{2}$（3-2l）（-$\frac{1}{2}$l+2）=$\frac{1}{2}$l²-$\frac{11}{4}$l+3，
如圖2，當(dāng)點M在射線OC上時，$\frac{3}{2}$＜l＜4時，
∴MC=（2l+1-3）=2l-3，PQ=-$\frac{1}{2}$l+2，
∴S=S_△QMC=$\frac{1}{2}$MC•PQ=$\frac{1}{2}$（2l-3）（-$\frac{1}{2}$l+2）=-$\frac{1}{2}$l²+$\frac{11}{4}$l-3，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{l}^{2}-\frac{11}{4}l+3（0＜l≤\frac{3}{2}）}\\{-\frac{1}{2}{l}^{2}+\frac{11}{4}l-3（\frac{3}{2}＜l＜4）}\end{array}\right.$

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，對稱的性質(zhì)，三角形的面積公式，體現(xiàn)了分類討論的思想，確定出直線AC的解析式是解本題的關(guān)鍵．