Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A的坐標為（3，a）（其中a＞4），射線OA與反比例函數y=的圖象交于點P，點B、C分別在函數y=的圖象上，且AB∥x軸，AC∥y 軸；

（1）當點P橫坐標為2，求直線AO的表達式；

（2）連接CO，當AC=CO時，求點A坐標；

（3）連接BP、CP，試猜想：的值是否隨a的變化而變化？如果不變，求出的值；如果變化，請說明理由．

Answer 1

【考點】反比例函數綜合題．

【專題】綜合題；反比例函數及其應用．

【分析】（1）把x=2代入反比例解析式求出y的值，確定出P坐標，將P坐標代入直線AO解析式y=kx，求出k的值，即可確定出解析式；

（2）連接CO，如圖1所示，由AC與y軸平行，得到A與C橫坐標相同，確定出C坐標，求出OC的長，即為AC的長，列出方程，求出解即可確定出A坐標；

（3）的值不變，理由為：如圖2，過C點向y軸作垂線交OA于點D，連接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E、F，連接BP，CP，根據A坐標表示出直線OC解析式，進而表示出D坐標，以及B坐標，得到四邊形ABCD為矩形，進而得到BE=CF，利用同底等高三角形面積相等即可求出所求之比．

【解答】解：（1）當x=2時，y==6，

∴P（2，6），

設直線AO的解析式為y=kx，

代入P（2，6）得k=3，

則直線AO的解析式為y=3x；

（2）如圖1，連接OC，

由AC∥y軸，得C點橫坐標為3．

當x=3時，y=4，

∴C（3，4），即OC==5，

∵AC=OC，

∴a﹣4=5，即a=9，

∴A（3，9）；

（3）的值不變，理由為：

如圖2，過C點向y軸作垂線交OA于點D，連接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E、F，連接BP，CP，

∵直線OA的解析式為y=x，

∴D點的坐標為（，4），

∵AB∥x軸，

∴點B的坐標為（，a）．

∴CD∥y軸，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴B、C到對角線AD的距離相等，即BE=CF，

∴△ABP與△ACP是同底等高的兩個三角形，它們面積相等，

則=1．

【點評】此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定一次函數解析式，矩形的判定與性質，三角形的面積求法，以及坐標與圖形性質，熟練掌握性質及運算法則是解本題的關鍵．