Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx﹣a+b（a，b為常數，且α≠0）．

（1）當a＝﹣1，b＝1時，求頂點坐標；

（2）求證：無論a，b取任意實數，此拋物線必經過一個定點，并求出此定點；

（3）若a＜0，當拋物線的頂點在最低位置時：

①求a與b滿足的關系式；

②拋物線上有兩點（2，s），（m，t），當s＜t時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標是（，）；（2）證明見解析，（﹣1，0）；（3）①b＝2a；②﹣4＜m＜2

【解析】

（1）代入a與b的值，確定函數解析式即可求頂點坐標；

（2）將表達式因式分解，可得到當x=-1時，y=0時是函數過的頂點；

（3）由拋物線開口向下，當拋物線的頂點在最低位置時即是頂點是（-1，0）時，可求a、b關系；結合函數圖象即可求m的范圍．

（1）當a＝﹣1，b＝1時，

∴y＝﹣x2+x+2=，

∴頂點坐標是（，）；

（2）y＝ax2+bx﹣a+b＝（ax2﹣a）+（bx+b）＝a（x+1）（x﹣1）+b（x+1）＝（x+1）（ax﹣a+b），

當x＝﹣1時，y＝0，

所以拋物線必經過定點（﹣1，0）；

（3）①∵拋物線必經過定點（﹣1，0），

∴當a＜0，拋物線的頂點在最低位置時，即（﹣1，0）是拋物線的頂點，

此時﹣＝﹣1，

∴b＝2a；

②當兩點（2，s），（m，t），在x＝﹣1右側時：

∵s＜t，

∴﹣1＜m＜2，

當（m，t），在x＝﹣1左側時：

∵s＜t，

∴﹣4＜m＜﹣1，

綜上所述，﹣4＜m＜2時，s＜t．