Question

【題目】定義：有一組對邊相等目這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．

（1）如圖①，四邊形與四邊形都是正方形，，求證：四邊形是“等垂四邊形”；

（2）如圖②，四邊形是“等垂四邊形”，，連接，點，，分別是AD，BC，BD的中點，連接EG，FG，EF．試判定的形狀，并證明；

（3）如圖③，四邊形是“等垂四邊形”，，，試求邊AB長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是等腰直角三角形．理由見解析；（3）

【解析】

（1）延長交于點，根據四邊形與四邊形都為正方形，易證，則有，，可證，根據，可證四邊形是等垂四邊形．

（2）延長交于點，根據四邊形是等垂四邊形，，有，，，根據點E,F,G分別是AD,BC,BD的中點可得，，，，則可證，即有是等腰直角三角形；

（3）延長交于點分別取的中點，連接，根據，是等腰直角三角形，可得，，即可得出最小值為．

（1）如圖，延長交于點，

∵四邊形與四邊形都為正方形

∴，，．

∴．

∴．

∴，．

∵

∴

即，∴．

∴．

又∵，

∴四邊形是等垂四邊形．

（2）是等腰直角三角形．

理由如下：如圖，延長交于點，

∵四邊形是等垂四邊形，，

∴，

∴

∵點E,F,G分別是AD,BC,BD的中點

∴，，，，

∴，，．

∴，

∴是等腰直角三角形；

（3）如圖，延長交于點分別取的中點，連接，

則，

由（2）可知是等腰直角三角形，

∴

∴

∴．

∴最小值為．