Question

【題目】在中，，分別以，為邊向外作正方形和正方形．

（1）當時，正方形的周長=_______（用含的代數式表示）；

（2）連接．試說明：三角形的面積等于正方形面積的一半．

（3）已知，且點是線段上的動點，點是線段上的動點，當點和點在移動過程中，的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4m；（2）證明見解析；（3）△APQ的周長的最小值為4．

【解析】

（1）直接由正方形的性質得出答案即可；

（2）連接AH，證明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面積=△BCE的面積得出結論；

（3）作點A關于DE的對稱點A′，點A關于BC的對稱點F，利用對稱的性質得出△APQ的周長的最小值為A′F，進一步求得問題即可．

（1）∵四邊形BCFH是正方形，

∴BC=BH=FH=CF，

∴當BC=m時，正方形BCFH的周長為4m，

故答案為：4m；

（2）如圖1，連接AH，

在△BHA和△BCE中，

∴△BHA≌△BCE（SAS），

∵AF∥BH，

∴BH邊上的高=正方形BCFH的邊

∴△BHA的面積等于正方形BCFH的面積．

∴△AEC的面積等于正方形BCFH的面積；

（3）△APQ的周長存在最小值．

如圖2，作點A關于DE的對稱點A

∴AP=A′P

∵點A關于BC的對稱點F，

∴AQ=QF，

∴△APQ的周長的最小值為A′F，

過A′作A′M⊥FA交FA的延長線于M，

∵，

∴∠BAC=45°，AB=2

∴∠A′AM=45°, AA′=4，

∴△AA′M為等腰直角三角形，，

∴MA=MA′=4，

∴MF=8，

∴A′F==4，

∴△APQ的周長的最小值為4．