Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，3），頂點為G．

（1）求拋物線和直線AC的解析式；

（2）如圖1，設E（m，0）為x正半軸上的一個動點，若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE=S△CGO，求點E的坐標；

（3）如圖2，設點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動，運動時間為ts，點M為射線AC上一動點，過點M作MN∥x軸交拋物線對稱軸右側部分于點N．試探究點P在運動過程中，是否存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；y=3x+3；（2）點E的坐標為：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t的值為或或．

【解析】

（1）用待定系數法即能求出拋物線和直線AC解析式．
（2）△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG，但高不好求，故把△CGE構造在比較好求的三角形內計算．延長GC交x軸于點F，則△FGE與△FCE的差即為△CGE．
（3）設M的坐標（e，3e＋3），分別以M、N、P為直角頂點作分類討論，利用等腰直角三角形的特殊線段長度關系，用e表示相關線段并列方程求解，再根據e與AP的關系求t的值．

解：（1）將點A（-1，0），B（3，0），點C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c得，

，解得，

∴，

設直線AC的解析式為y=kx+n，

將點A（-1，0），點C（0，3）代入得：，解得：k=3，n=3

∴直線AC的解析式為：y=3x+3

（2）延長GC交x軸于點F，過點G作GH⊥x軸于點H，

∵

∴G（1,4），GH=4，

∴，

若S△CGE=S△CGO，

則S△CGE=S△CGO=，

①若點E在x軸的正半軸，

設直線CG為，將G（1,4）代入得

∴，

∴直線CG的解析式為y=x+3，

∴當y=0時，x=-3，即F(-3,0)

∵E（m,0）

∴EF=m-(-3)=m+3

∴

=

=

=

=

∴，解得：m=1

∴E的坐標為（1,0）

②若點E在x軸的負半軸上，則點E到直線CG的距離與點（1,0）到直線CG的距離相等，

即點E到點F的距離等于點（1,0）到點F的距離，

∴EF=-3-m=1-(-3)=4

∴m=-7，即E（-7,0）

綜上所述，點E的坐標為：（1,0）或（-7,0）

（3）存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，

設M（e,3e+3），e＞-1，則，

①如圖2，若∠MPN=90°，PM=PN，

過點M作MQ⊥x軸于點Q，過N作NR⊥x軸于點R，

∵MN∥x軸
∴MQ＝NR＝3e＋3
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）
∴PQ＝PR，∠MPQ＝∠NPR＝45°
∴MQ＝PQ＝PR＝NR＝3e＋3
∴xN＝xM＋3e＋3＋3e＋3＝7e＋6，即N（7e＋6，3e＋3）
∵N在拋物線上
∴（7e＋6）2＋2（7e＋6）＋3＝3e＋3，

解得：（舍去），

∵AP＝t，OP＝t1，OP＋OQ＝PQ
∴t1e＝3e＋3
∴t＝4e＋4＝，

②如圖3，若∠PMN＝90°，PM＝MN，

∴MN＝PM＝3e＋3
∴xN＝xM＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）
∴（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3
解得：e1＝1（舍去），e2＝，
∴t＝AP＝e（1）＝，

③如圖4，若∠PNM＝90°，PN＝MN，
∴MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3）
解得：e＝
∴t＝AP＝OA＋OP＝1＋4e＋3＝

綜上所述，存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．