Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠ABC的平分線交AC于點O，以點O為圓心，OC為半徑．在△ABC同側作半圓O．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）若AB＝5，AC＝4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑長是．

【解析】

（1）過O作OH⊥AB于H，得到∠BHO=∠BCO=90°，根據角平分線的定義得到∠CBO=∠HBO，根據全等三角形的性質得到OH=OC，于是得到AB與⊙O相切；

（2）求得BC的長，然后證明BC是切線，利用切線長定理求得BH的長，證明△OAH∽△BAC，利用相似三角形的性質求解．

（1）證明：如圖，過O作OH⊥AB于H，∠ACB＝90°

∴∠BHO＝∠BCO＝90°，

∵BO平分∠ABC，

∴∠CBO＝∠HBO，

∵BO＝BO，

∴△CBO≌△HBO（AAS），

∴OH＝OC，

∴AB與⊙O相切；

（2）解：∵在直角△ABC中，AB＝5，AC＝4，

∴BC＝

∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，

∴BC是半圓的切線，

又∵AB與半圓相切，

∴BH＝BC＝3，AH＝AB﹣BH＝5﹣3＝2．

∵AB是切線，

∴OH⊥AB，

∴∠OHA＝∠BCA，

又∵∠A＝∠A，

∴△OAH∽△BAC，

∴即

解得OH＝．即⊙O的半徑長是．