Question

如圖，在直角坐標系中，以點A(,0)為圓心，以為半徑圓與x軸相交于點B，C，與y軸相交于點D，E.

（1）若拋物線經過點C，D兩點，求拋物線的解析式，并判斷點B是否在該拋物線上；
（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上有一點P，使得△PBD的周長最小，求點P的坐標；
（3）設Q為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1），在；（2）；（3）存在，（，12）.

試題分析：（1）由已知條件先求出C，D兩點的坐標，再把其橫縱坐標分別代入拋物線的解析式求出b，c，再將點B坐標代入檢驗即可；（2）BD的長為定值，所以要使△PBD周長最小，只需PB+PD最小，連接DC，則DC與對稱軸的交點即為使△PBD周長最小的點；（3）設Q（ ，t）為拋物線對稱軸x= 
上一點，M在拋物線上，要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，再分①當點M在對稱軸的左側時和①當點M在對稱軸的右側時，討論即可.
試題解析：（1）∵OA=，AD=AC=2，∴C（3，0），B（，0）.
又在Rt△AOD中，OA=，∴OD=. ∴D.
又∵D，C兩點在拋物線上，∴，解得.
∴拋物線的解析式為.
又∵當時，，
∴點B（，0）在該拋物線上.
（2）∵，∴拋物線的對稱軸方程為：x=.
∵BD的長為定值，∴要使△PBD周長最小，只需PB+PD最小.
連接DC，則DC與對稱軸的交點即為使△FBD周長最小的點，
設直線DC的解析式為y=mx+n，，解得.
∴直線DC的解析式為.
在中令x=得y=. ∴P的坐標為.
（3）存在，
設Q（，t）為拋物線對稱軸x=上一點，M在拋物線上，
要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，且點M在對稱軸的左側，
過點Q作直線L∥BC與拋物線交于點M（x，t），由BC=QM得QM=4，從而x=，t=12.
故在拋物線上存在點M（，12）使得四邊形BCQM為平行四邊形.